Кинематика

Идеализирование как метод исследования

Так все-таки, что такое кинематика? Это звено, которое соединяет механику и геометрию. Свойства физических тел, жидких, твердых и газообразных в механике, частью которой и является кинематика, идеализируются. Твердое тело рассматривается кинематикой как абсолютно твердое тело. Т.е. расстояние между двумя частицами его не может изменяться. Капельная жидкость рассматривается как абсолютно несжимаемое и т.д. Такой способ идеализировать предметы изучения и есть способ научного исследования.

В природе все движется, и то, что мы можем наблюдать, относительно, но его всегда можно абсолютизировать. Передвижение всего тела определено, если нам известно передвижение каждой его точки. Поэтому, прежде чем рассматривать перемещение тела, рассматривается перемещение точек. В природе свободное падение — это естественное, равноускоренное движение.

Кинематика

Траектория падающего свободно тела зависит от вектора начальной скорости. Если оно было брошено строго вертикально вниз, то она — это прямой вертикальный отрезок, а движение его равнопеременное.

Введение понятия точки облегчает исследования. Изучением относительного перемещения тела и занимается кинематика. Физика движения по окружности, например, говорит, что скорость человека, который идет по краю вращающейся карусели, равняется векторной сумме скорости движения самого человека и скорости вращения карусели. Это так называемый закон сложения скоростей.

Кинематика движения материальной точки

Кроме идеализированных тел, эта наука ввела понятие о материальной точке как об объекте, который имеет исчезающе малые размеры и бесконечно малый вес. Кинематика материальной точки исследует объекты, размерами которых можно легко пренебречь.

Так как в первую очередь изучаются составные движения, то есть ход в двух системах отсчета, взаимно перемещающихся относительно друг друга, кинематика точки полагает равными координаты всех точек, ускорение и саму скорость. А сама система координат, которая связана с точкой отсчета, и часы, которые отсчитывают время, являются системой отсчета, которая определяет положение движущегося объекта в момент времени.

Кинематика точки учитывает пройденный путь, скорость, ускорение и перемещение. Путь — длина траектории, описываемой точкой в заданный промежуток времени. Перемещение — это вектор, который соединяет начальное положение точки с конечным. Направление скорости будет оставаться неизменным, а ее величина, при неравномерном движении, может изменяться. Прямолинейное движение именуется равнопеременным в том случае, когда скорость объекта в любые временные промежутки изменяется одинаково.

В случае с бесконечно малой массой точка есть результат разделения объекта на бесконечное число бесконечно малых частиц. В случае с конечной массой точка есть результат беспредельного сжатия объекта. Представьте шарик заполненный материей, радиус которого уменьшается до бесконечно малого размера, а масса при этом сохраняется.

Задачи кинематики

Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движение рассматривается в определённой системе отсчёта. Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).

Положение точки (или тела) относительно заданной системы отсчёта определяется некоторым количеством взаимно независимых функций координат:

p1=f1(t){\displaystyle p_{1}=f_{1}(t)}
p2=f2(t){\displaystyle p_{2}=f_{2}(t)}
⋮{\displaystyle \vdots }
pn=fn(t){\displaystyle p_{\mathrm {n} }=f_{\mathrm {n} }(t)},

где n{\displaystyle n} определяется количеством степеней свободы. Так как точка не может быть в нескольких местах одновременно, все функции fi(t){\displaystyle f_{i}(t)} должны быть однозначными. Также в классической механике выдвигается требование их дифференцируемости на промежутках. Производные этих функций определяют скорость тела.

Скорость движения определяется как производная координат по времени:

v1=dp1(t)dt{\displaystyle v_{1}={\frac {dp_{1}(t)}{dt}}}
v2=dp2(t)dt{\displaystyle v_{2}={\frac {dp_{2}(t)}{dt}}}
⋮{\displaystyle \vdots }
vn=dpn(t)dt{\displaystyle v_{n}={\frac {dp_{n}(t)}{dt}}}
v→=v1τ→1+v2τ→2+….+vnτ→n{\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}{\vec {\tau }}_{1}+v_{2}{\vec {\tau }}_{2}+….+v_{n}{\vec {\tau }}_{n}},

где τ→i{\displaystyle {\vec {\tau }}_{i}} — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих координат.

Ускорение определяется как производная скорости по времени:

a→=dv→(t)dt{\displaystyle {\vec {a}}={d{{\vec {v}}(t)} \over dt}}

Следовательно, характер движения можно определить, зная зависимость скорости и ускорения от времени. А если кроме этого известны ещё и значения скорости/координат в определённый момент времени, то движение полностью задано.

Поступательное движение

Кинематика системы своим развитием обязана инженеру-геометру Шалю из Франции. Поступательное движение у него — прямая линия, взятая в теле, которая движется параллельно себе самой. Поступательное движение не стоит путать с прямолинейным. Тело может двигаться поступательно и криволинейно. Прямолинейное движение — это только частный случай поступательного. Например, ось земли, которая описывает эллипс, движется поступательно.

Любое движение, которое не удовлетворяет условию равномерности, называется переменным. Однако любое переменное движение в его бесконечно малых величинах можно рассматривать как равномерное. Скорость переменного движения есть скорость равномерных, на которые движение в своих элементах распадается.

Физика. Кинематика. Формулы

Для решения практических задач, связанных с кинематикой идеализированных тел, существует целый перечень самых разных формул. Они позволяют определить пройденное расстояние, мгновенную, начальную конечную скорость, время, за которое тело прошло ту или иную дистанцию, а также многое другое. Отдельным случае применения (частным) являются ситуации с смоделированным свободным падением тела. В них ускорение (обозначается буквой а) заменяется на ускорение свободного падения (буква g, численно равняется 9,8 м/с^2).

Итак, что же мы выяснили? Физика – кинематика (формулы которой выводятся одна из другой) – этого раздела применяется для описания движения идеализированных тел без учета силовых параметров, становящихся причинами возникновения соответствующего движения. Читатель всегда может ознакомиться с данной темой подробнее

Физика (тема “кинематика”) является очень важной, поскольку именно она дает основные понятия о механике как глобальном разделе соответствующей науки

Литература

  • Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. — М.: Изд-во Физического факультета МГУ, 1997.
  • Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
  • Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392 с.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560с.
  • Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975.
  • Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов (4-е изд.). — М.: Наука, 1968.

Задачи кинематики

Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движение рассматривается в определённой системе отсчёта. Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).

Положение точки (или тела) относительно заданной системы отсчёта определяется некоторым количеством взаимно независимых функций координат:

p1=f1(t){\displaystyle p_{1}=f_{1}(t)}
p2=f2(t){\displaystyle p_{2}=f_{2}(t)}
⋮{\displaystyle \vdots }
pn=fn(t){\displaystyle p_{\mathrm {n} }=f_{\mathrm {n} }(t)},

где n{\displaystyle n} определяется количеством степеней свободы. Так как точка не может быть в нескольких местах одновременно, все функции fi(t){\displaystyle f_{i}(t)} должны быть однозначными. Также в классической механике выдвигается требование их дифференцируемости на промежутках. Производные этих функций определяют скорость тела.

Скорость движения определяется как производная координат по времени:

v1=dp1(t)dt{\displaystyle v_{1}={\frac {dp_{1}(t)}{dt}}}
v2=dp2(t)dt{\displaystyle v_{2}={\frac {dp_{2}(t)}{dt}}}
⋮{\displaystyle \vdots }
vn=dpn(t)dt{\displaystyle v_{n}={\frac {dp_{n}(t)}{dt}}}
v→=v1τ→1+v2τ→2+….+vnτ→n{\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}{\vec {\tau }}_{1}+v_{2}{\vec {\tau }}_{2}+….+v_{n}{\vec {\tau }}_{n}},

где τ→i{\displaystyle {\vec {\tau }}_{i}} — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих координат.

Ускорение определяется как производная скорости по времени:

a→=dv→(t)dt{\displaystyle {\vec {a}}={d{{\vec {v}}(t)} \over dt}}

Следовательно, характер движения можно определить, зная зависимость скорости и ускорения от времени. А если кроме этого известны ещё и значения скорости/координат в определённый момент времени, то движение полностью задано.

Понятие кинематики

Кинематика

Название этого раздела физики также имеет греческое происхождение и дословно переводится как “двигаться”. Таким образом, мы получаем первоначальный, еще не сформированный по-настоящему ответ на вопрос о том, что такое кинематика. В данном случае можно говорить о том, что раздел изучает математические способы описания тех или иных видов движения непосредственно идеализированных тел. Речь идет о так называемых абсолютно твердых телах, об идеальных жидкостях, и, конечно же, о материальных точках

Очень важно помнить о том, что при применении описания причины движения не учитываются. То есть, рассмотрению не подлежат такие параметры, как масса тела или сила, которая оказывает влияние на характер его движения

Примеры законов движения, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка

Закон равноускоренного движения

Кинематика
Равноускоренное движение в поле тяжести Земли

Закон равноускоренного движения получается в результате решения простейшего дифференциального уравнения вида:

d2xdt2=A{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=A}

Общее решение этого уравнения дается формулой:

x(t)=C1+C2t+At22{\displaystyle x(t)=C_{1}+C_{2}t+{\frac {At^{2}}{2}}} ;

Здесь C1{\displaystyle C_{1}} и C2{\displaystyle C_{2}} — произвольные константы, соответствующие начальной координате и начальной скорости.

Движение с постоянным ускорением a→(t)=const{\displaystyle {\vec {a}}(t)=const} называют равноускоренным. Движение с постоянным ускорением подчиняется закону:

r→(t)=r→(t)+v→t+a→t22{\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}(t)+{\vec {v_{0}}}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}} ;
v→(t)=v→+a→t{\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t} .

При этом уравнения движения в координатной форме имеют аналогичный вид:

x(t)=x(t)+vxt+axt22{\displaystyle x(t)=x_{0}(t)+{v_{x_{0}}}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}} ;
vx(t)=vx+axt{\displaystyle v_{x}(t)=v_{x_{0}}+a_{x}t} .

В этом случае часто говорят о равноускоренном движении, если знаки ax{\displaystyle a_{x}} и vx(t){\displaystyle v_{x}(t)} совпадают и о равнозамедленном, если ax{\displaystyle a_{x}} и vx(t){\displaystyle v_{x}(t)} имеют противоположные знаки. При этом знак каждой из величин зависит от начального выбора системы отсчета.

Частный случай равноускоренного движения — равномерное движение. В этом случае a→(t)={\displaystyle {\vec {a}}(t)=0}. Тогда движение описывается закону:

r→(t)=r→(t)+v→t{\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}(t)+{\vec {v_{0}}}t}

2.1.6. Связь между кинематическими характеристиками при различных видах движений

По зависимости скорости и ускорения от времени все механические движения делятся на равномерное, равнопеременное (равноускоренное и равнозамедленное) и неравномерное.

Рассмотрим кинематические характеристики и кинематические уравнения, введенные в предыдущих параграфах, для разных видов движений.

1. Прямолинейное движение

Прямолинейное равномерное движение.

Направление движения задается осью ОХ.

Ускорение а = 0 (аn = 0, аτ = 0), скорость v = const, путь s = v∙t, координата x = x v∙t, где x — начальная координата тела на оси ОХ.

Путь — величина всегда положительная. Координата может быть и положительной и отрицательной, поэтому в уравнении, задающем зависимость координаты от времени, перед величиной v∙t в уравнении стоит знак плюс, если направление оси ОХ и направление скорости совпадают, и знак минус, если они противоположно направлены.

Прямолинейное равнопеременное движение.

Ускорение а = аτ = const, аn = 0, скорость , путь , координата .

Перед величиной (at) в кинематическом уравнении для скорости знак плюс соответствует равноускоренному движению, а знак минус — равнозамедленному движению. Это замечание верно и для кинематического уравнения пути, разные знаки перед величинами (at2/2) соответствуют разным видам равнопеременного движения.

В уравнении для координаты знак перед (vt) может быть и плюс, если направления vи оси ОХ совпадают, и минус, если они направлены в разные стороны.

Разные знаки перед величинами соответствуют равноускоренному или равнозамедленному движениям.

Прямолинейное неравномерное движение.

Ускорение а = аτ>≠ const, аn = 0,

скорость , путь .

2. Поступательное движение

Для описания поступательного движения можно использовать законы, приведенные в §2.1.6. (пункт 2) или §2.1.4. (пункт3). Использование тех или иных законов для описания поступательного движения зависит от его траектории. Для прямолинейной траектории используются формулы из §2.1.6. (пункт 2), для криволинейной — §2.1.4. (пункт3).

3. Вращательное движение

Отметим, что решение всех задач на вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси аналогично по форме задачам на прямолинейное движение точки. Достаточно заменить линейные величины s, vх, aх на соответствующие угловые величины φ, ω, β, и мы получим все закономерности и соотношения для вращающегося тела.

Равномерное вращение по окружности

(R — радиус окружности).

Ускорение: полное а = аn, нормальное , тангенциальное аτ = 0, угловое β = 0.

Скорость: угловая ω = const, линейная v = ωR = const.

Угол поворота ∆φ = ∆ φ+ ωt, ∆φ — начальное значение угла. Угол поворота величина положительная (аналог пути).

Периодом вращения называется промежуток времени T, в течении которого тело, равномерно вращаясь с угловой скоростью ω, совершает один оборот вокруг оси вращения. При этом тело поворачивается на угол 2π.

.

Частота вращения показывает число оборотов, совершаемых телом за единицу времени при равномерном вращении с угловой скоростью ω:

.

Равнопеременное вращение по окружности

Ускорение: угловое β = const, тангенциальное аτ = βR=const, нормальное аn = ω 2R ≠ const, полное

Скорость: угловая ω = ω ( βt), линейная

Угловое перемещение .

Все сказанное ранее относительно знаков в кинематических уравнениях для прямолинейного равнопеременного движения остается верным и для кинематических уравнений вращательного движения: плюс в формулах относится к равноускоренному вращению, минус — к равнозамедленному.

Понятия и величины, используемые в разделе

Основы кинематики включают в себя несколько величин, которые применяются не только в теоретическом плане, но и имеют место в практических формулах, применяемых при моделировании и решении определенного спектра задач. Познакомимся с этими величинами и понятиями подробнее. Начнем, пожалуй, с последних.

1) Механическое движение. Определяется как изменения пространственного положения определенного идеализированного тела относительно других (материальных точек) в ходе изменения временного интервала. При это на тела, которые упоминаются, имеют между собой соответствующие силы взаимодействия.

2) Система отсчета. Кинематика, определение которой мы дали ранее, базируется на использовании системы координат. Наличие ее вариаций является одним из необходимых условий (вторым условием является применение приборов или средств для измерения времени). Вообще система отсчета необходима для успешного описания того или иного вида движения.

3) Координаты. Являясь условным мнимым показателем, неразрывно связанным с предыдущим понятием (системой отсчета), координаты представляют собой не что иное, как способ, при помощи которого определяется положение идеализированного тела в пространстве. При этом для описания могут быть применены цифры и специальные символы. Координатами нередко пользуются разведчики и артиллеристы.

4) Радиус-вектор. Это физическая величина, которую на практике применяют для задания положения идеализированного тела с оглядкой на первоначальное положение (и не только). Проще говоря, берется определенная точка и она фиксируется для условности. Чаще всего это начало координат. Так вот, после этого, допустим, идеализированное тело из это точки начинает движение по свободной произвольной траектории. В любой момент времени мы можем соединить положение тела с началом координат, и полученная прямая будет представлять собой не что иное как радиус-вектор.

5) Раздел кинематики использует понятие траектории. Она представляет собой обыкновенную непрерывную линию, которая создается в ходе движения идеализированного тела при произвольном свободном движении в разноразмерном пространстве. Траектория, соответственно, может быть прямолинейной, круговой и ломанной.

6) Кинематика тела неразрывно связана с такой физической величиной как скорость

На деле это векторная величина (очень важно помнить о том, что понятие скалярной величины к ней применимо только в исключительных ситуациях), которая будет давать характеристику быстроты изменения положения идеализированного тела. Векторной ее принято считать в силу того, что скорость задает направление происходящего движения

Для использования понятия необходимо применять систему отсчета, как и говорилось ранее.

7) Кинематика, определение которой рассказывает о том, что она не рассматривает причины, вызывающие движение, в определенных ситуациях рассматривает и ускорение. Оно также является векторной величиной, которая показывает, насколько интенсивно будет изменяться вектор скорости идеализированного тела при альтернативном (параллельном) изменении единицы времени. Зная одновременно, в какую сторону направлены оба вектора – скорости и ускорения – можно сказать о том, какой характер имеет движение тела. Оно может быть либо равноускоренным (вектора совпадают), либо равнозамедленным (вектора разнонаправлены).

8) Угловая скорость. Еще одна векторная величина. В принципе, ее определение совпадает с аналогичным, которое мы дали ранее. На самом деле, разница заключается только в том, что ранее рассмотренный случай происходил при движении по прямолинейной траектории. Тут же мы имеем круговое движение. Это может быть аккуратная окружность, а также эллипс. Аналогичное понятие дается и для углового ускорения.

Основы кинематики

Кинематика

Они включают в себя такие понятие, как время и пространство. В качестве одного из наиболее простых примеров можно привести ситуацию, когда, допустим, материальная точка движется по окружности определенного радиуса. В этом случае кинематика будет приписывать обязательное существование такой величины, как центростремительное ускорение, которое по вектору направлено от самого тела к центру окружности. То есть, вектор ускорения в любой из моментов времени будет совпадать с радиусом окружности. Но даже в этом случае (при наличии центростремительного ускорения) кинематика не будет указывать на то, какую природу имеет та сила, которая стала причиной его появления. Это уже действия, которые разбирает динамика.

Опыты Галилея

Работами Аристотеля в конце шестнадцатого века заинтересовался знаменитый ученый Галилео Галилей. Он принялся изучать процесс свободного падения тела. Можно упомянуть о его опытах, которые он проводил на Пизанской Башне. Также ученый изучал процесс инерции тел. В конце концов Галилею удалось доказать, что в своих работах Аристотель ошибался, и он допустил целый ряд ошибочных выводов. В соответствующей книге Галилей изложил итоги проведенных работ с доказательствами ошибочности выводов Аристотеля.

Современная кинематика, как считается нынче, зародилась в январе 1700-ого года. Тогда перед Французской Академией наук выступил Пьер Вариньон. Он же привел первые понятия ускорения и скорости, написав и объяснив их в дифференциальном виде. Немного позднее на вооружение некоторые кинематические представления к сведению принял и Ампер. В восемнадцатом веке он использовал в кинематике так называемое вариационное исчисление. Специальная теория относительности, созданная еще позже, показывала, что пространство, как и время, не абсолютно. В то же время указывалось, что скорость может быть принципиально ограниченной. Именно такие основания подтолкнули кинематику к развитию в рамках и понятиях так называемой релятивистской механики.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью – простейший вид криволинейного движения.

Траектория движения – окружность. Вектор скорости направлен по касательной к окружности. Модуль скорости тела с течением времени не изменяется, а ее направление при движении по окружности в каждой точке изменяется, поэтому движение по окружности – это движение с ускорением. Ускорение, которое изменяет направление скорости, называется центростремительным. Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру.

Центростремительное ускорение – это ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора линейной скорости. Обозначение – ​\( a_{цс} \)​, единицы измерения – ​м/с2​.

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является периодическим движением, т. е. его координата повторяется через равные промежутки времени.Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот. Обозначение – ​\( T \)​, единицы измерения – с.

где ​\( N \)​ – количество оборотов, ​\( t \)​ – время, за которое эти обороты совершены.Частота вращения – это число оборотов за единицу времени. Обозначение – ​\( \nu \)​, единицы измерения – с–1 (Гц).

Период и частота – взаимно обратные величины:

Линейная скорость – это скорость, с которой тело движется по окружности. Обозначение – ​\( v \)​, единицы измерения – м/с. Линейная скорость направлена по касательной к окружности:

Угловая скорость – это физическая величина, равная отношению угла поворота к времени, за которое поворот произошел. Обозначение – ​\( \omega \)​, единицы измерения – рад/с .

Направление угловой скорости можно определить по правилу правого винта (буравчика). Если вращательное движение винта совпадает с направлением движения тела по окружности, то поступательное движение винта совпадает с направлением угловой скорости. Связь различных величин, характеризующих движение по окружности с постоянной по модулю скоростью:

Важно! При равномерном движении тела по окружности точки, лежащие на радиусе, движутся с одинаковой угловой скоростью, т. к

радиус за одинаковое время поворачивается на одинаковый угол. А вот линейная скорость разных точек радиуса различна в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра они располагаются:

Если рассматривать равномерное движение двух сцепленных тел, то в этом случае одинаковыми будут линейные скорости, а угловые скорости тел будут различны в зависимости от радиуса тела:

Когда колесо катится равномерно по дороге, двигаясь относительно нее с линейной скоростью ​\( v_1 \)​, и все точки обода колеса движутся относительно его центра с такой же линейной скоростью \( v_1 \), то относительно дороги мгновенная скорость разных точек колеса различна.

Мгновенная скорость нижней точки ​\( (m) \)​ равна нулю, мгновенная скорость в верхней точке ​\( (n) \)​ равна удвоенной скорости ​\( v_1 \)​, мгновенная скорость точки ​\( (p) \)​, лежащей на горизонтальном радиусе, рассчитывается по теореме Пифагора, а мгновенная скорость в любой другой точке ​\( (c) \)​ – по теореме косинусов.

Михаил Фирсов
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий