Квантовая физика

анонс номера

Памяти Владимира Игоревича Арнольда (стр. 2–3)
В. Тихомиров

Два занятия школьного кружка при МГУ (стр. 4–10)
В. И. Арнольд«Квант» публикует записи двух занятий математического кружка при МГУ, которые Владимир Игоревич Арнольд провел более 50 лет тому назад. Первое занятие посвящено вариациям кривых. Эта тема была довольно новой в математике того времени, но В. И. Арнольд, будучи еще студентом, смог ее изящно обработать и сделать доступной для школьников. Второй сюжет — гармонические функции. Это понятие является одним из важнейших в математике, и притом не самым простым, но здесь автор предлагает вполне понятный и наглядный подход к изучению свойств таких функций.

(стр. 11–18)
В. ГординРазнообразных метеонаблюдений, поступающих, например, в базу данных Гидрометцентра России, порядка миллиона. Современные технологии прогноза погоды позволяют давать его на несколько суток с довольно высокой точностью. Эти технологии — результат многовекового прогресса. Какие бывают метеонаблюдения? Какие приборы используются для этого? Как рассчитывается прогноз погоды? Какие существуют проблемы и типы контроля метеоинформации? На эти и аналогичные вопросы можно найти ответы в статье. Имеется много интересного и разнообразного исторического материала.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»Задачи М2184–2190, Ф2190–2197 (стр. 19)Решения задач М2161–2168, Ф2177–2181(стр. 20–26)

КМШЗадачи (стр. 27)Конкурс имени А. П. Савина «Математика 6–8» (стр. 28)Веревка из паутины (стр. 28–30)
Д. БагровКаждый может легко смахнуть паутину, висящую между ветками дерева или под потолком комнаты. Но мало кто знает о таких исключительных свойствах паутины, как высокая прочность. Как пауки прядут паутину? Как происходит процесс формирования нити паутины? Почему многие современные композитные материалы близки к паутине по своим свойствам? Как получить искусственную паутину в промышленных масштабах? Эти и подобные им вопросы обсуждаются в статье.Победители конкурса имени А. П. Савина «Математика 6–8» 2009/10 учебного года (стр. 30)

ШКОЛА В «КВАНТЕ»Замечательные точки треугольника и тригонометрия (стр. 31, 34–35)
Г. ФилипповскийВ этой статье предложен геометрический подход к доказательству некоторых тригонометрических тождеств и неравенств. Оказывается, для этого можно использовать свойства двух замечательных точек треугольника — центров вписанной и описанной окружностей. Такой способ позволяет избегать громоздких формул, которые обычны для чисто алгебраических доказательств в тригонометрии.

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»Квадрирование квадрата (стр. 32–33)

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»О плавании одномерных объектов (стр. 36–38)
М. Давлетшин, В. Соловьев, Ф. Стрельников, Е. ЮносовПрактически каждому доводилось видеть, как плавает на поверхности воды сухое бревно — оно располагается горизонтально и устойчиво сохраняет это положение. А может ли бревно плавать в вертикальном или наклонном положении? Чтобы ответить на эти вопросы, авторы статьи провели экспериментальное исследование. Кстати сказать, Максим Давлетшин, Владислав Соловьев и Федор Стрельников — ученики Московского лицея 1586, а Евгений Николаевич Юносов — их учитель физики.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОКДолгий путь короля (стр. 39–41)
Н. Белухов (Болгария)Шахматный король обходит всю доску 8 на 8, побывав в каждой клетке по одному разу, и возвращается в начало своего пути. Он может делать это по-разному — таких маршрутов достаточно много. Но какой может быть наибольшая длина его пути? Этот вопрос был поставлен в заметке И. Акулича в одном из номеров «Кванта» за 2000 год. И вот, спустя 10 лет, найден ответ. Автор применяет весьма хитроумную конструкцию и проводит полное исследование вопроса.

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТАЗадачи на уравнение моментов сил (стр. 42–46)
А. ЧерноуцанЧто такое момент силы, чему он равен, как определить его знак, каковы условия отсутствия вращения — все эти вопросы обсуждаются в школьном курсе физики. А вот как применять правило моментов при решении конкретных задач по физике — читайте в статье.

ОЛИМПИАДЫXXXI Турнир городов (стр. 47)LXXIII Московская математическая олимпиада (стр. 48–50)XVIII Избранные задачи Московской физической олимпиады (стр. 51–54)

Ответы, указания, решения (стр. 55)

КОЛЛЕКЦИЯ ГОЛОВОЛОМОКСветофор (2-я стр. обложки)
Е. Епифанов

ШАХМАТНАЯ СТРАНИЧКАКое-что о ладьях (3-я стр. обложки)
Е. Гик

ПРОГУЛКИ С ФИЗИКОЙВлажные пятна от воды (стр. 38 и 4-я стр. обложки)
К. БогдановМы привыкли к тому, что первые капли дождя оставляют на асфальте и на одежде темные пятна. А когда пятна высыхают, никаких следов не остается. Почему же чистая вода, пока не высохнет, кажется темной?

4. Закономерности в спектре атома водорода

Опыт показывает, что спектры
невзаимодействующих атомов, как это имеет место для разреженных газов,
состоят из отдельных линий, сгруппированных в серии.
На рис. 5.3 показаны линии серии спектра атома водорода, расположенные в
видимой области. Длина волны, соответствующая линиям в этой серии, называемой серией Бальмера, выражается формулой

Квантовая физика

где, n =
3, 4, 5, …;   — постоянная Ридберга.

Квантовая физика

Рис. 5.3

Линия, соответствующая n
= 3, является наиболее яркой и называется головной, а значению n
= ∞ соответствует линия, называемая границей серии.

В других областях спектра
(ультрафиолетовой, инфракрасной) также были обнаружены серии линий. Все они
могут быть представлены обобщенной формулой Бальмера —
Ридберга

Квантовая физика

где m
целое число, постоянное для каждой серии.

При m = 1;
n = 2,3,4, … — серия Лаймана. Наблюдается в ультрафиолетовой области.
При m = 2; n
= 3,4,5, … — серия Бальмера — в видимой области.
При m = 3; n
= 4,5,6, … — серия Пашена — в инфракрасной (ИК) области.
При m = 4; n
= 5,6,7, … — серия Брэкета — тоже в ИК области
и т. д.

Дискретность в структуре атомных спектров
указывает на наличие дискретности в строении самих атомов. Для энергии
квантов излучения атомов водорода можно записать следующую формулу

Квантовая физика

При записи этого выражения использованы
формулы (5.1), (3.21) и (5.8). Формула (5.9) получена на основе анализа
экспериментальных данных.

5.9. Атом водорода по теории Шредингера

Уравнение Шредингера позволяет решить
вопрос о строении водородоподобного атома, т. е. атома, который состоит из
положительно заряженного ядра с зарядом +Ze
и одного электрона. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром,
согласно формуле (2.14), равна:

Квантовая физика

где Z — порядковый номер элемента в
таблице Менделеева (для атома водорода = 1);    e — заряд электрона;    r — расстояние между
электроном и ядром:  (см. формулу (1.1));
      — электрическая постоянная.

Если подставить (5.17) в уравнение
Шредингера (5.16), то окажется, что это уравнение имеет решение не при всех
отрицательных значениях электрона E, а только таких, которые
удовлетворяют условию:

Квантовая физика

где n = 1,
2, 3, … — целое число.

Заметим, что формула (5.18) совпадает с
формулой (5.11), полученной в теории Бора.

Из формулы (5.18) следует, что энергия электрона в атоме
квантуется
.

Найденная при этих значениях энергии
волновая функция Ψ зависит от трех квантовых чисел:

n — главное квантовое число, n = 1, 2, 3, …;l — орбитальное квантовое число, l = 1, 2, 3, …, (n
-1);mL — магнитное квантовое число, mL = —l
, —l +1, …, 0, …, (l
-1), l .

Волновая функция определяет состояние
электрона в атоме, а квадрат ее модуля — вероятность обнаружения электрона в
единице объема
(см.
(5.14)).

Вероятность обнаружения электрона в
различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы
«размазан» по всему объему, образуя электронное облако. Квантовые
числа n и l характеризуют
размер и форму электронного облака, а квантовое число mL
характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В квантовой физике, по аналогии с спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся
квантовым числом l= 0, называется S
— состоянием, l= 1 — p — состоянием, l= 2 — d — состоянием и т. д. Для обозначения
различных состояний электрона в атоме используют следующие обозначения:
значения главного квантового числа указывают перед условным обозначением
орбитального квантового числа. Например, электроны в состояниях n = 1, l=
0 обозначаются 1S, при n = 2, l= 1 обозначаются 2p и т. д.

Квантовые числа позволяют компактно описать
закономерности в спектре испускания (поглощения) атома водорода.

5.1. Законы фотоэффекта

Внешним фотоэффектом называется вырывание электронов из вещества
под действием света. Законы фотоэффекта изучали с помощью схемы с
двухэлектродной лампой с освещаемым катодом (рис. 5.1). Под действием света
из катода вырываются электроны, которые под действием электрического поля
перемещаются к аноду, создавая анодный ток.

Рис.5.1

Вольтамперная характеристика, полученная с
помощью такой схемы при неизменном световом потоке Ф,
приведена на рис. 5.2.

Квантовая физика

Рис.5.2

Из анализа вольтамперных характеристик
получены законы фотоэффекта.

1.Свет
не любой частоты вызывает фотоэффект. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т. е. минимальная частота v,
при которой возможен фотоэффект.

Величина v зависит от
химической природы вещества и состояния его поверхности.

2.Максимальная энергия фотоэлектронов не зависит от светового потока, а линейно зависит от частоты света.

3.Величина
фототока насыщения, возникающего при освещении монохроматическим светом, пропорциональна падающему
световому потоку Ф
,

Iнас = Кст· Ф — закон Столетова,

где Кст
— коэффициент пропорциональности.

Эти законы невозможно было объяснить с
классической точки зрения, согласно которой электрическая компонента
электромагнитной волны вызывает вынужденные колебания свободных электронов в
металле, сообщая им энергию, достаточную для вылета. Тогда максимальная
кинетическая энергия фотоэлектронов должна быть пропорциональна квадрату
амплитуды световой волны (см. (3.14)), т. е. должна зависеть от светового
потока, что противоречит опытным фактам.

5.11. Вынужденное излучение. Лазеры

Излучать энергию атом может только в том
случае, если он возбужден, т. е. переведен из основного состояния на более
высокий энергетический уровень. Возбудиться атом может разными способами: при
бомбардировке вещества частицами, при облучении, при повышении температуры и
т. д. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет . Последующий
переход на более низкий энергетический уровень может происходить спонтанно (самопроизвольно) или вынужденно. Спонтанные переходы в разных атомах
независимы друг от друга, а испускаемые фотоны имеют разные направления и
случайные фазы. Поэтому спонтанное излучение является некогерентным. Все естественные источники света дают
спонтанное некогерентное излучение.

Однако в некоторых случаях возбужденные
энергетические состояния могут существовать достаточно долго . Такие
состояния называются метастабильными.
Переход из метастабильного состояния в основное может достигаться под
действием внешнего излучения. Это явление ускорения атомных переходов возбужденных атомов
под действием электромагнитного излучения называется вынужденным излучением.
Более того, возникающий в результате
вынужденного излучения фотон оказывается точно в фазе с внешним фотоном,
стимулировавшим это излучение атома, и летит в том же направлении. На основе
использования вынужденного излучения Н.Г. Басовым и А.М. Прохоровым в СССР и
Ч. Таунсом в США (1953 г.) были разработаны
генераторы когерентного излучения — лазеры. Слово «лазер»
составлено из первых букв английской фразы Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation — усиление света с
помощью вынужденного излучения. Другое название лазера — оптический квантовый
генератор (ОКГ). Существуют различные типы лазеров: твердотельные, газовые,
полупроводниковые, жидкостные.

Рассмотрим принцип действия твердотельного
лазера на рубине, состоящем из оксида , в кристаллическую решетку
которого внедрены ионы хрома Схема энергетических
уровней хрома показана на рис. 5.5, где E1 — основной
уровень; E2 и E3 — уровни возбуждения.

Квантовая физика

Рис.5.5

5.5. Постулаты Бора

Первая квантовая теория строения атома быда предложена в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором.
Она была основана на ядерной модели атома, согласно которой атом состоит из
положительно заряженного ядра, вокруг которого вращаются отрицательно
заряженные электроны.
Теория Бора основана на двух постулатах.

I постулат Бора — постулат стационарных состояний. В атоме
существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он
не излучает энергию. Этим стационарным состояниям соответствуют стационарные
орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным
орбитам не сопровождается излучением энергии.

II постулат Бора получил название «правило
частот». При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую
излучается (или поглощается) квант энергии, равный разности энергий
стационарных состояний

Квантовая физика

где h
постоянная Планка;     v — частота
излучения (или поглощения) энергии;     hv — энергия кванта
излучения (или поглощения);   En и Em— энергии
стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения), соотвественно. При Em
< En   происходит
излучение кванта энергии, а при Em
> En  — поглощение.

По теории Бора значение энергии электрона в
атоме водорода равно

Квантовая физика

Задания и вопросы для самоконтроля

1.Что
называется фотоэффектом? Сформулируйте законы фотоэффекта. В чем заключается
проблема классической физики при объяснении законов фотоэффекта?

2.Запишите
уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и расскажите, как с помощью этого
уравнения объясняются все законы фотоэффекта.

3.Что
такое фотон? Какова его энергия и импульс?

4.Какие
есть экспериментальные закономерности в спектре атома водорода? Запишите
обобщенную формулу Бальмера-Ридберга.

5.Сформулируйте
постулаты Бора.

6.Что
называется волной де Бройля? В чем заключается корпускулярно-волновой дуализм
микрочастиц?

7.В чем
заключается статистическая трактовка волн де Бройля?

8.Запишите
уравнение Шредингера. Что определяет волновая функция? Квадрат ее модуля?

9.Какие
следуют выводы из решения уравнения Шредингера для атома водорода? Расскажите
про квантовые числа.

10.Дайте квантово-механическое объяснение закономерностей в спектре
атома водорода.

11.Что
называется вынужденным излучением? Каковы его свойства?

12.На
каком принципе работает лазер? Где он применяется?

Михаил Фирсов
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий